Posts contrassegnato dai tag ‘nepero’

Il prossimo 23 novembre Samantha Cristoforetti (AstroSamantha), sarà la prima astronauta italiana ad andare nello spazio per la missione Futura, che la porterà a bordo della stazione spaziale ISS (in bocca al lupo AstroSamantha). Con tutta la tecnologia digitale disponibile dentro la ISS, AstroSamantha non avrà certo bisogno di portare strumenti di calcolo; gli basterà aprire un notebook per fare tutti i calcoli di cui avrà bisogno.

Invece,  Neil Armstrong, e Buzz Aldrin, gli astronauti che nel 1969 atterrarono sulla luna con la missione Apollo 11, avevano con se in dotazione uno strumento di calcolo particolare, per svolgere velocemente operazioni in mancanza di calcolatori elettronici di bordo: avevano un regolo calcolatore come quello qui sotto.

 

SlideRulerPickett_n600es

E non solo loro; probabilmente ogni tecnico, ingegnere, scienziato della Nasa ne aveva uno. Con questo riuscivano a fare calcoli, anche complessi, molto velocemente. Ricordo che almeno un paio dei miei insegnanti di scuola lo usavano per fare i conti; ed ancora nella prima metà degli anni ’80, nonostante la diffusione delle calcolatrici elettroniche digitali, ho avuto modo di conoscere ingegneri che continuavano ad utilizzarlo.

Immagino che Edmund Gunter (1581 – 1626) sarebbe stupito di sapere che una sua invenzione continuava ad essere utilizzata dopo oltre 350 anni. Già, perché il primo regolo calcolatore fu da lui concepito e realizzato nel 1620.

RegolodiGunter

 

Innanzitutto diciamo che il regolo è un calcolatore analogico, ossia una macchina che funziona con grandezze variabili, in analogia ai fenomeni fisici o alle rappresentazioni geometriche. Detto questo entriamo nei particolari. Come si vede dall’immagine sopra, il regolo di Gunter era uno bastone di legno con delle precise incisioni, una serie di linee e numeri posti a distanze ben definite. E queste distanze ben definite , cosi come tutto il sistema di calcolo alla base del regolo, hanno a che fare con i logaritmi, quella cosa per molti mal digerita ai tempi della scuola.

I logaritmi, un dono matematico che ci ha fatto Nepero (vedi approfondimenti), permettono di semplificare e quindi velocizzare i calcoli, trasformando prodotti in somme, divisioni in differenze, elevamenti a potenza in prodotti, e calcoli di radici in quozienti. Nepero, non solo inventò i logaritmi, ma anche una primordiale calcolatrice nota come i Bastoncini di Nepero.

Edmund Gunter, professore di matematica e astronomia al Gresham College di Londra, era molto interessato al lavoro di Nepero. Non tanto per gli per aspetti teorici, quanto per quelli pratici ed applicativi. Infatti, Gunter si occupava di astronomia e navigazione, materie che richiedevano una grande quantità di faticosi calcoli; quindi la semplificazione rappresentata dai logaritmi non poteva che affascinarlo.

Gunter pensò che i logaritmi avrebbero potuto semplificare anche i calcoli trigonometrici, quelli appunto utilizzati in astronomia; quindi compilò le tavole dei logaritmi per il seno e la tangente, che non esistevano.

Gunter, però, era anche un maker del suo tempo, costruttore di sestanti e compassi per le misurazioni astronomiche. Da queste sue competenze ed attitudini gli venne l’idea di uno strumento che semplificasse ulteriormente il calcolo con l’uso dei logaritmi. Infatti, rispetto ai Bastoncini di Nepero bisognava eliminare il lavoro mentale dell’addizione. Così Gunter ideò e realizzò il regolo da utilizzare con un compasso: niente più addizioni da fare, bastava guardare sul regolo e leggere il risultato mostrato dalla posizione dei bracci del compasso.

Torniamo al concetto delle distanze ben definite. La sequenza dei numeri sul regolo non è a distanza fissa, come quella dei classici righelli, ma variabile. Ad esempio la distanza che separa il numero 1 dal numero 2 è di 3 cm, mentre quella che separa il 2 dal 3 è di 1,76 cm, e via via le distanze si riducono sempre più andando avanti nella sequenza. É quello che si chiama, scala logaritmica, perché che queste distanze non sono altro che i logaritmi dei numeri (logaritmi in base due, moltiplicati per una scala, in questo caso 10, per renderli fisicamente tracciabili ed utilizzabili su un bastone).

GunterLog

 

Se ad esempio volessimo calcolare la moltiplicazione 2×3 con il regolo di Gunter, dovremmo procedere in questo modo:

  1. aprire il compasso in modo che misuri la lunghezza che va dal numero 1 al numero 2 (il moltiplicando)
  2. con questa misura, posizionare il braccio sinistro del compasso sul numero 3 (il moltiplicatore) e leggere il risultato indicato dalla posizione del braccio destro sul ragolo

2x3

Come si vede dalla figura, il puntale destro del compasso è posizionato sul numero 6: il risultato della moltiplicazione.

La prima significativa evoluzione al regolo di Gunter fu apportata da un suo contemporaneo, il matematico inglese William Oughtred (1574-1660). Si chiese come eliminare l’uso del compasso, ossia un oggetto esterno, ed ebbe una geniale intuizione: affiancare due regoli di Gunter. Successivamente si aggiunse un cursore mobile centrale e poi scale per i vari calcoli complessi. Ad esempio il grande Isaac Newton aggiunse una scala per la risoluzione delle equazioni cubiche

RegoloMobile

Nei primi del 1700 il regolo calcolatore raggiunse la forma che poi mantenne per oltre 250 anni. Newton faceva calcoli con la stessa macchina usata dagli uomini che andarono sulla Luna.

APPROFONDIMENTI

Calcolar con gelosia

[adriano parracciani aka CyberParra]

[End Of File - 111000]
[ACF - 100100]

La ricerca di una sorta di meccanismo che facesse calcoli in maniera automatica è stato uno dei problemi che l’umanità antica ha cercato di risolvere per secoli. Non certo perché mancasse la capacità intellettuale di concepire una calcolatrice; quello che mancava erano i meccanismi, i giusti materiali per realizzarli, l’esperienza e la capacità manuale degli artigiani.

L’idea era quella di usare leve, ingranaggi e ruote per assemblare una macchina che facesse i calcoli velocemente al posto della mente, un abaco meccanizzato che evitasse di dover muovere pedine e tener a mente numeri e riporti. Per farlo bisognava anche inventare le tecniche del calcolo meccanico e progettare come questi oggetti dovessero essere costruiti e connessi per fare almeno somme e sottrazioni automaticamente.

Il tempo giusto arrivò verso la fine del Rinascimento nei primi del 1600, quando le tecniche meccaniche divennero disponibili e gli orologiai erano in grado di costruire macchine per il calcolo del tempo. Possiamo considerare gli orologi meccanici come la prima forma di calcolatori, meccanici appunto.

La tecnologia e le abilità artigiane erano finalmente disponibili ma ci si trovò di fronte ad un serio problema.

Se devo fare questa addizione:

19+7,  scrivo 6 nelle unità e riporto 1 nelle decine; e qui sta il problema: il riporto

Con l’abaco la cosa si risolveva manualmente aggiungendo una pedina a sinistra ma dal punto di vista meccanico si trattava di un vero e proprio rompicapo.

Il primo che lo risolse fu Wilhelm Schickard (Herrenberg 1592-Tubinga 1635) linguista, matematico, astronomo, geografo, discreto pittore e meccanico, insomma un Leonardo in salsa tedesca.

quello che tu hai fatto con la logica io ho provato a farlo con la meccanica. Ho costruito una macchina realizzata con ruote dentate (11 sane e 6 mutilate) in grado di fare calcoli. Scoppieresti a ridere se vedessi come riporta automaticamente da se dalla colonna delle decine alla successiva, o come fa viceversa nel caso della sottrazione

Questo scrive nel 1623  Wilhelm Schickard al suo amico Johannes Kepler (Keplero), il grande astronomo tedesco che in precedenza gli aveva illustrato come facesse i suoi calcoli astronomici utilizzando i logaritmi ed i bastoncini di Nepero (vedi articolo Calcolar con Gelosia)

La spiegazione di Keplero fu fonte d’ispirazione per Schickard; infatti decise di meccanizzare il sistema di calcolo dei bastoncini di Nepero sostituendoli con aste scorrevoli, ruote dentate, manopole e finestrelle per leggere i numeri. Associò ad ogni cifra una ruota dentate con dieci denti, ognuno dei quali, ruotando, rappresentava le varie cifre decimali. Il meccanismo del riporto era realizzato da una ruota con un solo dente che faceva avanzare di un’unità la ruota del successivo ordine decimale.

La prima calcolatrice meccanica della storia era concepita e Schickard ne affidò la costruzione al meccanico Johann Pfister.

Keplero s’interessò immediatamente alla macchina e chiese ulteriori spiegazioni; Schickard gli scrisse tutti i dettagli in una lettera e gli fece costruire una seconda versione migliorata di quello che lui chiamava Orologio da Calcolo. Ma Keplero non la ricevette mai.

E qui la storia si ammanta di fascino e mistero; già perché per trecento anni dell’Orologio da Calcolo di Schickard non se ne seppe nulla, e per secoli  si è ritenuto Blaise Pascal il primo a realizzare un addizionatrice meccanica, la Pascalina, realizzata venti anni dopo.

Come mai? Accade che la macchina destinata a Keplero fu distrutta da un incendio scoppiato nel laboratorio di Pfister, come scrisse lo stesso Schickard all’amico astronomo; successivamente Schickard morì di peste e dei disegni originali si perse traccia. Nessun altro seppe mai come funzionasse la sua calcolatrice, ed anzi non se ne conobbe l’esistenza fino al 1960. In quel periodo alcuni ricercatori stavano lavorando ad un archivio completo dei lavori di Keplero e capitarono nella libreria dell’osservatorio di Pulkovo, nei pressi di quella che all’epoca era chiamata Leningrado. Mentre sfogliano una copia delle Tabulae Rudolphinae (il catalogo astronomico pubblicato da Keplero nel 1627), si accorgono di un pezzo di carta ripiegato utilizzato come segnalibro.

Sapete cos’era?

Si trattava della lettera di Schickard a Keplero con i dettagli della sua calcolatrice. Ecco gli schizzi:

Grazie a questa fortuita scoperta si è potuto conoscere e riprodurre l’Orologio da Calcolo di Schickard, e retrodatare il primato della prima calcolatrice meccanica della storia, una macchina in grado di gestire numeri fino a 6 cifre. Per numeri più grandi Schickard aveva previsto l’overflow ossia il supermento; quando questo accadeva una ruota avrebbe fatto suonare una campanella e l’operatore avrebbe dovuto infilare nelle dita un anello di ottone per ricordarsi del riporto di overflow.

Vi chiederete dove sia il mistero; la risposta è nella seguente domanda: che fine ha fatto la prima versione della calcolatrice che era nella mani di Schickard?

[adriano parracciani]

[End Of File]
[ACF-11110]

Vi dice niente il nome John Napier? No? Eppure lo avete incontrato nella vostra vita, soprattutto in quella scolastica. Dovrebbero avervi parlato di un ricco scozzese vissuto a cavallo tra il 1500 ed il 1600, con la passione per la fisica e per la matematica che ad un certo punto propose un nuovo e rivoluzionario sistema di calcolo: i logaritmi.

Forse non ve l’hanno raccontanta con la giusta enfasi narrativa e biografica e forse non vi hanno nemmeno spiegato le cose in maniera pratica e semplice; ed è per questo che il nome di Nepero ed i suoi logaritmi, ad alcuni, da  sempre un certo brivido, ricordi di ostici studi matematici spesso mai compresi.

Eppure John Napier, il nostrano Nepero, ci ha fornito un sistema di calcolo più in linea con la nostra essenza, con quello che siamo e con quello che percepiamo. Infatti, i nostri sensi, come l’udito o la vista, lavorano su scala logaritmica; ad esempio i suoni che ascoltiamo, se confrontati,  hanno un andamento di crescita/decrescita non lineare ma appunto logaritmico (es 3 volte tranto poi 9 volte, poi 27, ecc). Nepero propose i logaritmi perchè permettono di  trasformare prodotti in somme, divisioni in differenze, elevamenti a potenza in prodotti e calcoli di radici in quozienti, semplificando calcoli anche molto complessi.

Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica ….

Ritroviamo in queste sue parole il problema dei tempi antichi, quello della difficoltà e della noia del calcolo, che lui affrontò in maniera ampia.

Prima inventò i logaritmi, una lunga fila di numeri da lui calcolati e quindi memorizzati nelle famose tavole per essere utilizzati nei calcoli semplificati.

Poi, sempre con l’obiettivo di velocizzare e semplificare i calcoli, John Napier inventò una calcolatrice basata su dei bastonicini passati alla storia come i Bastoncini di Nepero.(in inglese sono chiamati Napier Bones, ossi di Nepero,  perchè le asticelle erano fatte di avorio).

Nepero realizzò un’asticella per ogni cifra del sistema decimale (da 0 a 9)  e poi ci incise, in colonna, tutti i relativi multipli fino a 9, separando le decine dalle unità con una barra trasversale.

Ottenne così una sorta di tavola Pitagorica disposta su asticelle mobili che potevano essere prese e spostate per fare i calcoli.

Il sistema di calcolo funziona affiancando i bastoncini che compongono le cifre del numero oggetto di operazione e sommando i numeri trasversali.

Supponiamo di voler calcolare il prodotto 187 x 7

Si prendono i bastoncini dell’1, dell’8 e del 7 e si affiancano in modo che i loro multipli appaiano allineati. In alto si legge il numero 187.

Affianchiamo poi un bastoncino guida che contiene l’indice crescente delle cifre decimali da 1 a 9.

A questo punto mettiamo in evidenza i numeri che appaiono sulla riga contrassegnata dal numero 7.

I numeri trasversali formano due righe. Per ottenere il risultato non si fa altro che sommare la riga di sopra 540, con quella di sotto 769,  avendo cura di mettero uno zero laddove il campo è vuoto.

540+769 = 1390 che è esattemente il prodotto di 187×7.

Il calcolo si può anche fare sommando i numeri i trasversali sulla singola colonna, riportando il resto alla colonna successiva.

Qesto modo permette una maggiore facilità nelle moltiplicazioni a più cifre.

Ad esempio 456 x 128:

si affiancano i bastoncini 4,5,6 si mettono il fila gli incroci con 1, 2 ed 8 e poi si fanno le somme dei numeri traservasli nelle colonne riportando il resto alla colonna successiva. Seguendo lo schema di destra dovrebbe essre chiaro come si ottiene il risulato 58368.

(altro…)